Original-URL des Artikels: https://www.golem.de/news/quantenmechanik-malen-nach-zahlen-fuer-die-weltbesten-mathematiker-1704-127108.html    Veröffentlicht: 05.04.2017 09:04    Kurz-URL: https://glm.io/127108

Quantenmechanik

Malen nach Zahlen für die weltbesten Mathematiker

Wer schnell berechnen kann, wie sich die Welt im Innersten verhält, öffnet das Tor für Technologien von morgen. Wie geht das? Neu erfundene Zahlen könnten den Weg weisen.

Es ist eine echte Großbaustelle in der mathematischen Physik. So was wie BER multipliziert mit Panamakanal hoch LHC, nur auf mathematisch. Es geht um einen theoretischen Brückenschlag, eine Abkürzung für einen langen Trampelpfad durch den Dschungel der Quantenmechanik. Diesen Urwald muss man immer dann betreten, wenn es um Elementarteilchen geht, bei der Konstruktion von Handys, Computern - oder bei der Planung von Teilchenbeschleunigern wie dem LHC, wo in rund 150 Metern Tiefe Protonen oder Blei-Ionen aufeinanderprallen. Auszurechnen, was da unten passiert, kostete etwa zwei Jahrzehnte quantenmechanische Rechenarbeit, vor dem eigentlichen Bau des LHC. Vielleicht kriegt man so was eines Tages viel schneller hin - wenn erst einmal klar ist, was die seltsamen Zahlen namens Perioden mit kleinen Bildchen zu tun haben, den Feynman-Diagrammen.

Elementarteilchen in Wellen und Pfeilen veranschaulichen

Mit denen fängt diese Geschichte nämlich eigentlich an, im Frühjahr 1948, auf einer Physikertagung im Pocono Manor Inn, in einem Hotel zweieinhalb Autostunden westlich von New York. Es war später Nachmittag und alle waren erschöpft, als endlich Richard P. Feynman an die Tafel trat. Dort skizzierte er, wie man mit Pfeilen und Wellenlinien das Werden und Vergehen von Elementarteilchen veranschaulichen kann, Zusammenstöße zwischen Teilchen oder radioaktive Zerfallsprozesse etwa.

Feynmans Graphen sahen ein bisschen aus wie kleine Käfer, mit Beinchen, die ein- und austretende Teilchen symbolisieren: Jedes Teilchen, das in dem Prozess eine Rolle spielt, ist eine Linie oder ein Pfeil im Diagramm. An den Punkten, an denen die Pfeile zusammenstoßen, passiert mit ihnen etwas.

Mathematische Brücken zur Quantenmechanik

Eine Spielerei in den Augen der meisten seiner Kollegen, und sie ärgerten Feynman gereizt mit ihren Fragen. So entging ihnen das eigentlich Spektakuläre: Jedes Diagramm lässt sich eindeutig in eine Formel übertragen. Die berechnet die quantenmechanische Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser spezielle Prozess stattfinden wird. Feynman hatte eine mathematische Brücke zwischen seinen Diagrammen und der formalen Quantenmechanik entdeckt.

"Vielleicht ist eine Sache dann simpel, wenn man sie auf unterschiedliche Arten beschreiben kann, ohne sofort zu wissen, dass man eigentlich dasselbe sagt", stellte er Jahre später in seiner Nobelpreisrede fest.

Natürlich beliebte Feynman mal wieder zu scherzen: Wirklich simpel ist die Quantenmechanik nämlich bis heute nicht. Und so wird weiter an Brücken gebaut. Die neue soll größer werden als die von Feynman entdeckte, und sie soll in eine ganz andere Richtung führen, von seinen Diagrammen zu einer neuen Art von Zahlen, den Perioden. Die kamen erst um die Jahrtausendwende in der Mathematik auf - und sie scheinen gewisse Strukturen aus der Quantenmechanik in Strukturen aus der Welt der Zahlen zu spiegeln.

Was passiert im Käferkörper?

Das Problem ist nämlich: Der klassische Rechenweg durch den quantenmechanischen Urwald scheint wirr und kompliziert. Selbst wenn Feynmans Käferchen nur vier Beinchen haben - weil zum Beispiel zwei Elektronen aufeinander prallen und hinterher zwei wieder wegfliegen -, kann dazwischen, sozusagen im Käferkörper, alles Mögliche passieren. Genau das geschieht in vielen Experimenten etwa am LHC, wo Teilchen auf andere Teilchen geschossen werden. Dabei können zum Beispiel neue Teilchen entstehen und umgehend wieder vergehen. So bilden sich Schleifen in den Käferkörpern, und von denen kann es beliebig viele geben.

Um die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, dass nur zwei Elektronen mit irgendeiner Energie kollidieren und dann wieder auseinanderfliegen, muss man im Prinzip alle möglichen Feynman-Diagramme in Formeln übersetzen und diese Formeln aufaddieren - und an den Experimenten am LHC sind viel mehr als zwei Elektronen beteiligt. Kein Wunder, dass dabei alle möglichen Probleme entstehen können, allen voran, dass die Ergebnisse unendlich groß werden. Immerhin: Das Problem mit dieser unerwünschten Unendlichkeit wurde mühevoll in den 1950er Jahren repariert.

Was da gebaut wird, ist hochhip

Heute verwendet man nur einen kleinen Teil von Integralen - gerade so viel, wie man braucht, um die Daten in der gewünschten Genauigkeit zu berechnen - und eine Menge Tricks. Damit ist die Praxis schon schwierig genug. Zahlen schrubben, so nennen das manche Mathematiker verächtlich.

Denn das eigentliche Problem löst man damit nicht: Ein grundsätzliches Verständnis der Regeln. "Es gibt unendlich viele Graphen, die ich mit einer gegebenen Anzahl äußerer Beinchen zeichnen kann. Ich muss also unendlich viele Graphen ausrechnen, was noch keiner kann, oder ich muss irgendwie ihr Bildungsgesetz verstehen... und so weit sind wir im Moment noch nicht", sagt Dirk Kreimer und seufzt. Er ist Physiker an der Humboldt-Universität und einer der Experten, wenn es um die Brückenschläge zwischen Feynman-Diagrammen und anderen Gebieten der Mathematik geht.

Kreimer sinkt tief in seinen Sessel, blickt immer wieder nachdenklich auf die Wandtafel in seinem Büro, mit einer Waschbetonsäule daneben. Hier beginnt die Brückenkonstruktion, an der er seit Jahrzehnten mitarbeitet. Was da gebaut wird, ist faszinierend und gewaltig - und hochhip.

Perioden scheinen überall in der Physik aufzutauchen

Den Ausgangspunkt bildet eine einfache Erkenntnis: Zahlen kann man verknüpfen, zum Beispiel beim Malnehmen. Man verknüpft sie zu neuen Zahlen. Drei verknüpft mit drei ist neun. Aber auch Graphen kann man verknüpfen, zum Beispiel, indem man sie einfach nebeneinander malt, oder indem man jeden Verbindungspunkt aus dem einen Graphen mit jedem Verbindungspunkt aus dem anderen Graphen mit einer neuen Kante verbindet. So wird aus zwei Graphen ein neuer. Und so entsteht eine Art Arithmetik - Mathematiker sprechen von einer Algebra.

Zu dieser Algebra gibt es ein mathematisches Gegenstück, eine Co-Algebra: "Eine Co-Algebra macht genau das Umgekehrte: Wenn eine Algebra zwei Dinge nimmt und multipliziert, nimmt eine Co-Algebra ein Ding und macht zwei Teile daraus", erklärt Kreimer. Manchmal kommt es nun vor, dass sich eine Algebra strukturell mit ihrer Co-Algebra verträgt, und dass die Co-Algebra obendrein hübsche mathematische Eigenschaften hat. Genau eine solche spezielle Algebra bilden die Feynman-Graphen.

Dass das so ist, ist ein kleines Wunder: Es zeigt vielleicht, dass es in der Natur tiefere Strukturen und Gesetzmäßigkeiten stecken. Ein noch größeres Wunder ist, dass sich diese Gesetze offenbar in den geheimnisvollen Perioden spiegeln.

Faszination Periodenzahlen

1999 hielt der Mathematiker Maxim Lwowitsch Kontsevich einen Vortrag auf dem Jahrestag der französischen mathematischen Gesellschaft; man hatte ihn eingeladen, weil er im Jahr zuvor mit 34 Jahren die Fields-Medaille erhalten hatte, das mathematische Pendant zum Nobelpreis. Als Thema wählte Kontsevich die sogenannten Perioden - Zahlen, die durch spezielle Integrale beschrieben werden. Auch wenn die Integrale schon lange bekannt waren, als Zahlen hatte sie bis dato noch niemand betrachtet. Seinen Vortrag formulierte er hinterher zusammen mit seinem Doktorvater Don Zagier zu einer Arbeit, die viele in der Wissenschaft elektrisierte. "In gewisser Weise war die Idee von Kontsevich und Zagier, Dinge zu popularisieren für die mathematische Community", sagt Kreimer.

Das klappte: Viele Kollegen waren fasziniert. Denn Perioden sind sehr spezielle komplexe Zahlen - die allerwenigsten komplexen Zahlen gehören dazu, obwohl es unendlich viele Perioden gibt. Perioden scheinen aber überall in der Physik aufzutauchen, weil einige der All-Time-Favourites der Physik dazu gehören, zum Beispiel die Kreiszahl pi oder die Wurzel aus zwei. Die Eulersche Zahl e ist dagegen vermutlich keine Periode.

Simpler wird es nicht, aber es geht vielleicht schneller

An dieser Stelle beginnen die großen Rätselfragen, denn tatsächlich ist immer noch kaum etwas über Perioden bekannt, bis heute. Preisfrage: Wie kann man entscheiden, ob eine Zahl eine Periode ist? Perioden können sich in ihrer Integraldarstellung verstecken, und oft gibt es mehrere Wege, ein- und dieselbe Zahl als Periode zu schreiben. Kontsevich und Zagier forderten daher ihre Leser auf: "Findet einen Algorithmus, der entscheidet, ob zwei Perioden ein- und dieselbe Zahl sind."

Fragezeichen in den Köpfen der Mathematiker

Wüsste man mehr über die Struktur dieser geheimnisvollen Zahlen, dann wüsste man eben auch mehr über Feynman-Diagramme. Denn so, wie jedes Feynman-Diagramm einem Integral entspricht, entspricht es auch einer Periode. Das Summieren der Integrale ist also in Wirklichkeit ein Summieren in der Menge der Perioden. "Es gibt eindeutig einen Zusammenhang zwischen den Feynman-Graphen, der Zahlentheorie und den Perioden, die ich am Ende kriege. Das ist empirisch beobachtet, tausendfach bestätigt, aber es erzeugt im Moment nur drei dicke, dicke Fragezeichen in den Köpfen der besten Mathematiker auf diesem Planeten. Niemand versteht im Moment, wo das herkommt", sagt Kreimer.

Wenn Kreimer und seine Kollegen von der Zukunft träumen, dann geht das ungefähr so: Zwei Elektronen begegnen einander. Alle Feynman-Diagramme, die ihre Begegnung beschreiben, besitzen eine Struktur. Und die findet sich in den Perioden wieder. Wer die Perioden verstanden hat, der kann die quantenmechanische Wahrscheinlichkeit dafür, was bei der Begegnung der Elektronen passiert, in der Welt der Perioden berechnen und dabei deren Strukturen und Hierarchien ausnutzen - und ist deshalb bereits nach wenigen Tagen Rechenarbeit fertig, statt 20 Jahre lang Zahlen zu schrubben.

Simpler wird die Natur der Elementarteilchen dadurch nicht. Aber vielleicht wird der Weg durch den Dschungel der Quantenmechanik dadurch einfacher - und die Rechenwege kürzer.  (zeit-alo)


Verwandte Artikel:
Quantengatter: Die Bauteile des Quantencomputers   
(25.07.2017, https://glm.io/128276 )
Q# und QDK: Microsoft veröffentlicht Entwicklungskit für Quantenrechner   
(12.12.2017, https://glm.io/131613 )
Jahresrückblick 2018 im Video: Alexa, übernehmen Sie!   
(30.12.2017, https://glm.io/131872 )
Röntgenlaser: Der Xfel wird eröffnet   
(01.09.2017, https://glm.io/129821 )
Wissenschaft: 10.000 CPUs und 1 Petabyte für die Cloud von Helix Nebula   
(15.02.2018, https://glm.io/132802 )

© 1997–2019 Golem.de, https://www.golem.de/