Die Raketengleichung

Was tut die Raketengleichung eigentlich? Sie besagt, welche Geschwindigkeit eine Rakete mit ihren Triebwerken erreichen kann, wenn sie eine bestimmte Menge Treibstoff verbrannt hat. Dabei hängt die Beschleunigung der Rakete jederzeit von ihrem Schub und ihrem Gewicht ab.

Schub entsteht durch das Verbrennen von Treibstoff, wodurch die Rakete leichter wird und besser beschleunigt. Je weniger Treibstoff nötig ist, um einen bestimmten Schub zu erzeugen, desto länger kann die Rakete damit beschleunigen und desto schneller kann sie werden.

Die Raketengleichung berechnet mit drei Zahlen, wie schnell eine Rakete ist, nachdem sie eine bestimmte Menge Treibstoff verbrannt hat: die Masse der Rakete mit Treibstoff vor dem Manöver (Vollmasse), die Masse der Rakete nach dem Manöver (Leermasse) und die Effizienz der Triebwerke.

Physikalisch wird die Effizienz aus der theoretischen Ausströmgeschwindigkeit der Triebwerke hergeleitet. Aber in der Praxis wird der erzeugte Schub durch den Treibstoffverbrauch pro Sekunde geteilt. Der Schub wird als Äquivalent der Gewichtskraft angegeben (1 Tonne = 9,81 kN). Das Ergebnis ist der spezifische Impuls (ISP) in Sekunden und besagt, für wie lange ein Triebwerk dieser Effizienz zum Beispiel eine Tonne Schub mit einer Tonne Treibstoffverbrauch erzeugen könnte. Die Ausströmgeschwindigkeit ist ISP * 9,81 m/s².

Wie ein Logarithmus zum Problem der ganzen Raumfahrt wird

In der aktuellen Version hat das Raptor-3-Triebwerk 250 Tonnen Schub beim Start und ist bei normalem Luftdruck mit ISP von 327 s für ein Raketentriebwerk sehr effizient. Es verbraucht 250 Tonnen / 327 s = 0,764 Tonnen Treibstoff pro Sekunde.

Im Vakuum erreicht es 350 s und sogar 380 s mit vergrößerter Raketendüse. Vermutlich ist die reale Effizienz am Boden um rund 1 Prozent schlechter, denn das Triebwerk läuft mit um 11 Prozent gedrosselter Leistung und somit vermutlich auch niedrigerem Brennkammerdruck, gegenüber dem angekündigten Schub von 280 Tonnen.

Der wichtigste Teil der Raketengleichung ist der natürliche Logarithmus (ln) des Masseverhältnisses, der die erreichbare Geschwindigkeit bestimmt. Ein Beispiel für eine andere Logarithmusfunktion (log) ist die Zahl der Nullen runder Zahlen, wenn man von 0 bis unendlich zählt.

Log (10) ist 1, log (100) ist 2 und log (1.000.000) ist 6. Der Logarithmus macht aus sehr großen Zahlen viel kleinere Zahlen. Der natürliche Logarithmus (ln) verwendet jedoch Vielfache von e statt von 10. Passend umgestellt sagt die Gleichung, dass der Treibstoffverbrauch exponentiell mit der erreichten Geschwindigkeit steigt.

Wer viel Nutzlast haben will, muss optimale Raketen bauen

Intuitiv ist das vorstellbar: Wir stellen uns vor, eine Rakete wiegt eine Tonne und hat einen Tank mit einer Tonne Treibstoff (Massenverhältnis = 2). Dann kann sie eine bestimmte Geschwindigkeit V (*) erreichen. Wenn sie doppelt so schnell werden soll, braucht sie einen zusätzlichen Tank mit zwei Tonnen Treibstoff. Denn zwei Tonnen werden gebraucht, um die Rakete und eine Tonne Treibstoff auf Geschwindigkeit V zu bringen, damit die Rakete mit ihrer Tonne Treibstoff dann nochmal um V beschleunigen kann.

Für die dreifache Geschwindigkeit werden zusätzlich vier Tonnen Treibstoff benötigt und so weiter. Für die vierfache Geschwindigkeit werden also insgesamt 15 Tonnen Treibstoff benötigt, um eine Rakete mit einer Tonne Leergewicht zu beschleunigen. Dabei kann davon ausgegangen werden, dass das Gewicht der nötigen Tanks und Triebwerke einer Rakete oder Raketenstufe unter vergleichbaren Bedingungen ungefähr linear mit dem Gewicht des Treibstoffs wächst.

Die Rakete in diesem Beispiel besteht also fast nur noch aus Treibstoff, Tanks und Triebwerken, ohne viel Masse für die Nutzlast übrig zu lassen. Es ist damit nicht schwer, sich vorzustellen, dass mit so einer Exponentialfunktion viel schiefgehen kann, wenn eine schwere Raketenstufe eine zu hohe Geschwindigkeit mit dem eigenen Treibstoff erreichen muss.

(* Beim normalen Raptor im Vakuum wären das 2.428 m/s. Diese Angabe ist unüblich, aber die meisten Leser dürften mit binären Zahlen und Verdoppelungen intuitiv vertraut sein. Die Geschwindigkeit entspricht dem spezifischen Impuls multipliziert mit 6,937 m/s² oder Ausströmgeschwindigkeit multipliziert mit ln(2). Die Raketengleichung muss dann aber mit dem binären statt dem natürlichen Logarithmus berechnet werden.)

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