Perioden scheinen überall in der Physik aufzutauchen

Den Ausgangspunkt bildet eine einfache Erkenntnis: Zahlen kann man verknüpfen, zum Beispiel beim Malnehmen. Man verknüpft sie zu neuen Zahlen. Drei verknüpft mit drei ist neun. Aber auch Graphen kann man verknüpfen, zum Beispiel, indem man sie einfach nebeneinander malt, oder indem man jeden Verbindungspunkt aus dem einen Graphen mit jedem Verbindungspunkt aus dem anderen Graphen mit einer neuen Kante verbindet. So wird aus zwei Graphen ein neuer. Und so entsteht eine Art Arithmetik - Mathematiker sprechen von einer Algebra.

Zu dieser Algebra gibt es ein mathematisches Gegenstück, eine Co-Algebra: "Eine Co-Algebra macht genau das Umgekehrte: Wenn eine Algebra zwei Dinge nimmt und multipliziert, nimmt eine Co-Algebra ein Ding und macht zwei Teile daraus", erklärt Kreimer. Manchmal kommt es nun vor, dass sich eine Algebra strukturell mit ihrer Co-Algebra verträgt, und dass die Co-Algebra obendrein hübsche mathematische Eigenschaften hat. Genau eine solche spezielle Algebra bilden die Feynman-Graphen.

Dass das so ist, ist ein kleines Wunder: Es zeigt vielleicht, dass es in der Natur tiefere Strukturen und Gesetzmäßigkeiten stecken. Ein noch größeres Wunder ist, dass sich diese Gesetze offenbar in den geheimnisvollen Perioden spiegeln.

Faszination Periodenzahlen

1999 hielt der Mathematiker Maxim Lwowitsch Kontsevich einen Vortrag auf dem Jahrestag der französischen mathematischen Gesellschaft; man hatte ihn eingeladen, weil er im Jahr zuvor mit 34 Jahren die Fields-Medaille erhalten hatte, das mathematische Pendant zum Nobelpreis. Als Thema wählte Kontsevich die sogenannten Perioden - Zahlen, die durch spezielle Integrale beschrieben werden. Auch wenn die Integrale schon lange bekannt waren, als Zahlen hatte sie bis dato noch niemand betrachtet. Seinen Vortrag formulierte er hinterher zusammen mit seinem Doktorvater Don Zagier zu einer Arbeit, die viele in der Wissenschaft elektrisierte. "In gewisser Weise war die Idee von Kontsevich und Zagier, Dinge zu popularisieren für die mathematische Community", sagt Kreimer.

Das klappte: Viele Kollegen waren fasziniert. Denn Perioden sind sehr spezielle komplexe Zahlen - die allerwenigsten komplexen Zahlen gehören dazu, obwohl es unendlich viele Perioden gibt. Perioden scheinen aber überall in der Physik aufzutauchen, weil einige der All-Time-Favourites der Physik dazu gehören, zum Beispiel die Kreiszahl pi oder die Wurzel aus zwei. Die Eulersche Zahl e ist dagegen vermutlich keine Periode.

Simpler wird es nicht, aber es geht vielleicht schneller

An dieser Stelle beginnen die großen Rätselfragen, denn tatsächlich ist immer noch kaum etwas über Perioden bekannt, bis heute. Preisfrage: Wie kann man entscheiden, ob eine Zahl eine Periode ist? Perioden können sich in ihrer Integraldarstellung verstecken, und oft gibt es mehrere Wege, ein- und dieselbe Zahl als Periode zu schreiben. Kontsevich und Zagier forderten daher ihre Leser auf: "Findet einen Algorithmus, der entscheidet, ob zwei Perioden ein- und dieselbe Zahl sind."

Fragezeichen in den Köpfen der Mathematiker

Wüsste man mehr über die Struktur dieser geheimnisvollen Zahlen, dann wüsste man eben auch mehr über Feynman-Diagramme. Denn so, wie jedes Feynman-Diagramm einem Integral entspricht, entspricht es auch einer Periode. Das Summieren der Integrale ist also in Wirklichkeit ein Summieren in der Menge der Perioden. "Es gibt eindeutig einen Zusammenhang zwischen den Feynman-Graphen, der Zahlentheorie und den Perioden, die ich am Ende kriege. Das ist empirisch beobachtet, tausendfach bestätigt, aber es erzeugt im Moment nur drei dicke, dicke Fragezeichen in den Köpfen der besten Mathematiker auf diesem Planeten. Niemand versteht im Moment, wo das herkommt", sagt Kreimer.

Wenn Kreimer und seine Kollegen von der Zukunft träumen, dann geht das ungefähr so: Zwei Elektronen begegnen einander. Alle Feynman-Diagramme, die ihre Begegnung beschreiben, besitzen eine Struktur. Und die findet sich in den Perioden wieder. Wer die Perioden verstanden hat, der kann die quantenmechanische Wahrscheinlichkeit dafür, was bei der Begegnung der Elektronen passiert, in der Welt der Perioden berechnen und dabei deren Strukturen und Hierarchien ausnutzen - und ist deshalb bereits nach wenigen Tagen Rechenarbeit fertig, statt 20 Jahre lang Zahlen zu schrubben.

Simpler wird die Natur der Elementarteilchen dadurch nicht. Aber vielleicht wird der Weg durch den Dschungel der Quantenmechanik dadurch einfacher - und die Rechenwege kürzer.