Mathematik: Quaternionen - und wo sie überall zu finden sind
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Ob Tomb Raider, Mario Kart, medizinische Bildgebung, die ISS – sie alle müssen ständig Drehungen und Orientierungen im dreidimensionalen Raum berechnen. Dabei hat sich gezeigt, dass ein vierdimensionales Zahlensystem – die Quaternionen – dafür besonders geeignet ist.
Obwohl Quaternionen zunächst wie abstrakte Mathematik wirken, haben sie einen enormen Einfluss auf unsere technologische Welt. Ohne sie wären viele Entwicklungen der 3D-Grafik und Animation, insbesondere der Boom der 1990er Jahre, kaum möglich gewesen. Was nach Science-Fiction klingt, ist in Wirklichkeit ein eindrucksvolles Beispiel dafür, wie Mathematik unsere moderne Welt prägt.
Wie dreht man eigentlich mathematisch?
Jegliche Drehungen in einem Raum beliebiger Dimension erfolgen immer nach dem gleichen Schema: Man benötigt eine Raumachse, um die man drehen will, und einen Winkel, der angibt, um wie viel man drehen will. Im zweidimensionalen Raum mit nur einer Höhe und einer Länge erfolgt die Drehung immer um die Achse entlang der Breite, die senkrecht auf der Ebene steht.
Betrachtet man Objekte im dreidimensionalen Raum, stellen Höhe, Breite und Länge elementare Rotationsachsen dar. Eine Drehung um eine beliebige Achse im Raum kann dabei immer als eine Hintereinanderausführung dieser Elementardrehungen aufgefasst werden.
Mathematisch beschreibt man diese Elementardrehungen mithilfe von Drehmatrizen. Drehmatrizen sind lediglich eine Art von Tabellen mit gleich vielen Zeilen und Spalten, wobei die jeweilige Anzahl durch die Dimension des Raumes gegeben ist.
Die Rotation eines Objektes erfolgt, indem man es durch viele verbundene Punkte darstellt und die Koordinaten jedes Punktes mit den Drehmatrizen multipliziert. Die Multiplikation mit Matrizen ist lediglich eine Abfolge von Multiplikationen und Additionen von Zahlen nach einem bestimmten Schema.
Die Matrix und ihre Probleme
Multiplikationen und Additionen nach einem bestimmten Schema klingt nach einer einfachen Aufgabe für heutige Computer. Weshalb benutzt man dann also keine Drehmatrizen mehr, um Bewegungen durch den Computer zu beschreiben? Dazu schauen wir uns die Steuerung einer Videospielfigur in einer dreidimensionalen Welt an.
Um die Immersion einer realistischen Bewegung aufrechtzuerhalten, müssen Bewegungen kontinuierlich und nicht ruckartig verlaufen. Daher dreht man eine Figur nicht einmalig um einen festen Winkel, sondern unterteilt die Drehung in viele Mini-Drehungen.