Weshalb sind dreidimensionale Zahlen unmöglich?
Warum benötigt man für räumliche Drehungen vierdimensionale Zahlen und nicht dreidimensionale? Ein Blick auf Drehungen in der Ebene hilft weiter. Im zweidimensionalen Raum gibt es nur zwei Drehrichtungen: im oder gegen den Uhrzeigersinn. Die Drehachse ist dabei eindeutig festgelegt und steht senkrecht zur Ebene – wie beim Flaschendrehen, bei dem die Flasche auf dem Boden um diese eine Achse gedreht wird.
Im dreidimensionalen Raum ist die Situation deutlich komplexer. Ein Objekt kann um beliebige Achsen mit beliebiger Orientierung gedreht werden. Um eine solche Drehung zu beschreiben, muss zunächst die Richtung der Drehachse festgelegt werden – dafür benötigt man bereits drei Zahlen. Zusätzlich kommt der Drehwinkel hinzu, der die eigentliche Rotation bestimmt. Diese Information liefert die vierte Komponente.
Betrachtet man Rotationen auf diese Weise, erscheint es ganz natürlich, dass man zur Beschreibung von Drehungen im dreidimensionalen Raum vierdimensionale Zahlen benötigt.
3D-Rotationen mit Quaternionen
Wie im zweidimensionalen Fall kann man auch im dreidimensionalen Raum einen Vektor durch Quaternionen darstellen. Die drei imaginären Einheiten i,j und k stehen dabei für die Raumachsen, der Realteil des Vektors wird auf Null gesetzt.
Um den Vektor um eine beliebige Achse um einen Winkel zu drehen, erstellt man zunächst eine Drehquaternion. Deren Realteil ist der Kosinus des halben Drehwinkels, der Imaginärteil der Sinus des halben Winkels multipliziert mit der Einheitsachse der Rotation.
Die Drehung erfolgt durch Multiplikation der Drehquaternion mit dem Vektor. Da die Drehquaternion nur den halben Winkel enthält, muss man das Ergebnis anschließend erneut mit der Drehquaternion in umgekehrter Drehrichtung multiplizieren.
So lassen sich Rotationen elegant durchführen, ohne komplizierte Matrizen zu verwenden, und es genügen nur drei Quaternionenmultiplikationen.
Quaternionen sind einfach die besseren Dreher
Quaternionen bieten gegenüber Drehmatrizen viele Vorteile. Mit nur vier Zahlen statt neun Einträgen lassen sich Rotationen deutlich kompakter und effizienter berechnen, Rundungsfehler wirken sich geringer aus, und Probleme wie Gimbal Lock treten nicht auf. Besonders praktisch ist die Interpolation zwischen Drehungen, zum Beispiel mit Slerp (Sphärische lineare Interpolation), die gleichmäßige und präzise Bewegungen ermöglicht. All das spart enorm Rechenzeit und -leistung.
In der Praxis machte das Spiele wie Tomb Raider von 1996 auf der Playstation überhaupt erst möglich: Lara Croft konnte in alle Richtungen laufen, springen und klettern, während die Kamera automatisch korrekt mitdrehte – etwas, das mit Matrizen auf der schwachen 33-MHz-CPU kaum zu stemmen gewesen wäre.
Damit zeigen Quaternionen eindrucksvoll, wie abstrakte Mathematik mehr als 100 Jahre nach deren Entdeckung zu einem nicht mehr wegzudenkenden Werkzeug in unserer hoch technologisierten Welt geworden ist.
Stefan Ruloff ist Physiker, mit Studienschwerpunkt theoretische Physik. Er interessiert sich sowohl für die Geschichte der Mathematik und Physik als auch für aktuelle Themen und hat Freude am Vermitteln solcher Themen auch für Laien.