Die Geburtsstunde der Quaternionen
Mit Tripeln ließ sich das Problem nicht lösen, doch Vierlinge funktionierten. Seine sogenannten superkomplexen Zahlen erwiesen sich damit als hyperkomplexe Zahlen mit einem Realteil und drei imaginären Anteilen.
Die von Hamilton festgelegten Multiplikationsregeln der imaginären Einheiten machten es möglich, diese Vierlinge konsistent zu multiplizieren, und sie beseitigten die bisherigen Schwierigkeiten. In Anlehnung an das lateinische Wort quaternio für "Vierheit" nannte Hamilton diese Zahlen Quaternionen.
Auf die Reihenfolge kommt es an!
Vierdimensionale Zahlen lösten das zuvor unlösbare Multiplikationsproblem – allerdings zu einem Preis: Die Reihenfolge der Multiplikation zweier Quaternionen beeinflusst das Ergebnis. Multipliziert man eine Quaternion q1 mit einer anderen q2, erhält man nicht dasselbe Resultat wie bei der umgekehrten Reihenfolge. Mathematisch ausgedrückt ist die Quaternionenmultiplikation nicht kommutativ.
Versteht man diese Multiplikation als Beschreibung von Drehungen im dreidimensionalen Raum – ähnlich wie komplexe Zahlen Drehungen in der Ebene darstellen -, erscheint diese Eigenschaft plötzlich ganz natürlich. Denn auch räumliche Drehungen sind nicht vertauschbar.
Das lässt sich leicht veranschaulichen: Dreht man sich in einem Ego-Shooter wie Call of Duty zunächst um 90° nach links und danach um 90° nach oben, erhält man eine andere Blickrichtung als bei umgekehrter Reihenfolge. Dasselbe gilt für das Drehen eines Gegenstands wie eines Rubik's Cube um verschiedene Achsen.
Die Reihenfolge von Drehungen ist also entscheidend. Genau diese grundlegende Eigenschaft räumlicher Rotationen ist in Quaternionen bereits enthalten – und macht sie zu einem idealen Werkzeug für dier Beschreibung von Drehungen im dreidimensionalen Raum.