''Papa, kannst du Drillinge multiplizieren?''
Jahrelang zerbrach sich Hamilton den Kopf über das Problem, doch alle Versuche scheiterten. Die Frage beschäftigte ihn so sehr, dass selbst seine Kinder davon wussten und ihn scherzhaft fragten, ob er inzwischen "Drillinge multiplizieren" könne. Hamilton musste dies stets verneinen – mehr als Addieren und Subtrahieren war ihm nicht gelungen. Schließlich kam ihm eine verzweifelte, beinahe verrückte Idee: Was, wenn die Reihenfolge der Multiplikation eine Rolle spielt?
Das würde bedeuten, dass die Multiplikation von i und j nicht dasselbe ergibt wie die Multiplikation von j und i – ein Gedanke, der bei gewöhnlichen Zahlen undenkbar ist. Doch auch dieser Ansatz führte zunächst nicht zum gewünschten Erfolg.
Am 16. Oktober 1843 kam Hamilton während eines Spaziergangs über die Brougham Bridge in Dublin der entscheidende Gedanke. Hamilton erkannte, dass die Multiplikation von i und j eine neue imaginäre Einheit k ergibt, während die umgekehrte Multiplikationsreihenfolge -k ist, und dass auch hier die Multiplikation von k mit sich selbst wieder den Wert -1 ergibt. Diese Erkenntnis ritzte er sofort in das Mauerwerk der Brücke.
Der Ort wurde später zu einer Pilgerstätte für Mathematikerinnen und Mathematiker auf der ganzen Welt, die den sogenannten Hamilton Walk entlanggingen. Heute erinnert eine Gedenktafel an Hamiltons berühmte Entdeckung.
Hamiltons entscheidende Erkenntnis war, dass es keine direkte Entsprechung zwischen der Raumdimension und der Anzahl der Zahlkomponenten geben muss.