Die Kunst, Pfeile zu drehen

Ähnlich wie bei dem Partyspiel Flaschendrehen, bei dem eine Flasche als Pfeil auf dem Boden liegt und gedreht wird, lassen sich auch komplexe Zahlen als Pfeile drehen. Mathematiker haben erkannt, dass eine solche Drehung besonders einfach ist: Man multipliziert die komplexe Zahl mit einer speziell gewählten anderen komplexen Zahl. Deren Realteil ist der Kosinus und deren Imaginärteil der Sinus des gewünschten Drehwinkels. Durch diese Multiplikation wird die komplexe Zahl um genau diesen Winkel gegen den Uhrzeigersinn gedreht.

Bild 1/3: Drehung der komplexen Zahl z0 (grüner Pfeil) um den Winkel 90° gegen den Uhrzeigersinn zu der neuen Zahl (roter Pfeil). Die Pfeile sind bis auf die Orientierung identisch. (Bild: Stefan Ruloff)

Bild 2/3: Vertauschung der Reihenfolge der 90°-Rotationen im Uhrzeigersinn des Rubik's Cube führt zu unterschiedlichen Ausgangsorientierungen. (Bild: Stefan Ruloff)

Bild 3/3: Drehung des Vektors A um den Winkel φ zu dem Vektor B: Zuerst benötigt man die Rotationsachse, die senkrecht auf der grauen Kreisfläche steht, die die beiden Punkte A und B als Randpunkte enthält. Danach drehtman die Koordinaten des Vektors A um die Drehachse um den Winkel φ underhält die Koordinaten des Punktes B. (Bild: Stefan Ruloff)

Aus zwei mach drei!

Diese elegante Darstellung von Drehungen in der Ebene faszinierte den irischen Mathematiker und Physiker Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) Anfang des 19. Jahrhunderts so sehr, dass er versuchte, das Konzept auf den dreidimensionalen Raum zu übertragen.

Seine Idee war einfach: So, wie komplexe Zahlen Drehungen in zwei Dimensionen beschreiben, sollten "dreidimensionale Zahlen" Drehungen im Raum ermöglichen. Diese nannte er superkomplexe Zahlen. Dazu führte Hamilton eine zweite imaginäre Einheit j ein, die ähnliche Eigenschaften wie i besitzt. Damit stellte sich jedoch eine neue Frage: Wie verhalten sich diese beiden imaginären Einheiten bei der Multiplikation? Die Beantwortung dieser Frage war entscheidend, um Drehungen im dreidimensionalen Raum mathematisch beschreiben zu können.

Das Problem der Multiplikation von Tripeln

Um Rotationen mit Zahlentripeln zu beschreiben, musste zunächst geklärt werden, wie die Grundrechenarten auf diese Zahlen wirken. Addieren und Subtrahieren funktionierten noch wie bei komplexen Zahlen, doch die Multiplikation bereitete Hamilton großes Kopfzerbrechen.

Unabhängig vom Ansatz führte die Multiplikation der imaginären Einheiten i und j zweier Tripel nicht mehr zu einem Tripel. Das wäre so, als würde man die Zahlen 2 und 3 miteinander multiplizieren und erhielte statt 6 keine Zahl mehr, sondern etwas völlig anderes.

Das war ein ernstes Problem, denn ohne wohldefinierte Rechenregeln lassen sich keine Rotationen beschreiben. Dennoch gab Hamilton nicht auf und war überzeugt, eine Lösung zu finden.

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