Kosmologie: Die Raumzeit ist kein Gummituch!
Das erste Foto eines schwarzen Lochs erregte im Jahr 2019 großes Aufsehen. Zwei Jahre zuvor war der Physik-Nobelpreis(öffnet im neuen Fenster) für die Entdeckung der Gravitationswellen an Rainer Weiss, Barry C. Barish und Kip S. Thorne verliehen worden.
In beiden Fällen handelt es sich um die experimentelle Bestätigung von Phänomenen, die vor über 100 Jahren von der allgemeinen Relativitätstheorie vorhergesagt wurden. Albert Einsteins großes Werk ist also auch heute hochgradig aktuell – und geradezu der Inbegriff für schwer verständliche Physik. Um solch komplexe Themen einem breiten Publikum verständlich zu machen, bedienen sich Wissenschaftler und Journalisten zu Recht einfacher Analogien und Modellvorstellungen.
Im Falle der allgemeinen Relativitätstheorie wird die Wirkung der Gravitation häufig mit Hilfe zweier Kugeln in einem elastischen Tuch (öffnet im neuen Fenster) veranschaulicht, wobei die schwerere das Tuch durch ihr Eigengewicht dehnt und die leichtere in einer gekrümmten Bahn um die schwere herum rollt (siehe Bild 1). Dieses Modell hat leider nur wenig mit den eigentlichen Ideen hinter Einsteins berühmter Theorie zu tun. Durch eine leichte Anpassung kann man es aber doch noch retten.
Die Raumzeit wird entdeckt
Um den Kontext zu setzen, begeben wir uns gedanklich an den Anfang des 20. Jahrhunderts. Einige Jahrzehnte zuvor hat James Clerk Maxwell (öffnet im neuen Fenster) mit den nach ihm benannten Gleichungen(öffnet im neuen Fenster) eine Theorie der Elektrodynamik aufgestellt und damit erklärt, wie elektrische Ladungen, Ströme sowie elektrische und magnetische Felder wechselwirken.
Insbesondere beschreiben seine Gleichungen die Ausbreitungen von elektromagnetischer Strahlung wie Licht oder Radiowellen. Ein nagendes Problem für die Physiker bleibt jedoch die Beobachtung, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit dieser Wellen – also die Lichtgeschwindigkeit – in Experimenten stets unabhängig davon war, wie sich Lichtquelle und Beobachter bewegten.
Dies ist mit Maxwells Theorie alleine nicht zu erklären und widerspricht auch unserer Alltagserfahrung: Wenn wir am Bahnhof einem abfahrenden Zug hinterher rennen, ist dessen Geschwindigkeit relativ zu unserer sehr wohl kleiner, als wenn wir stehen bleiben.
Albert Einstein löste dieses Problem, als er im Jahre 1905 seine spezielle Relativitätstheorie (Originalzeitschrift: Annalen der Physik, mit Paywall:(öffnet im neuen Fenster) alternativ ohne Paywall als PDF(öffnet im neuen Fenster)) veröffentlichte. Er führte darin Raum und Zeit effektiv zu einer Raumzeit zusammen und beschrieb, wie sich die Raum- und die Zeitkoordinaten von relativ zueinander bewegten Beobachtern unterscheiden.
Der Begriff der Raumzeit rührt daher, dass Raum und Zeit zu einem gewissen Grad ihre Rollen vertauschen können – ähnlich wie sich die Begriffe vorne, hinten, rechts und links für einen Beobachter subjektiv ineinander umwandeln, wenn er sich im Raum dreht. Unter einer Beschleunigung kann man also eine Art Drehung in der Raumzeit (öffnet im neuen Fenster) verstehen, bei der sich Raum- und Zeitkoordinaten vermischen.
Warum der Apfel vom Baum fällt
Offen blieb in der speziellen Relativitätstheorie jedoch, wie sich die Gravitation in dieses neue Bild von Raum und Zeit einfügen ließe. Gemäß der Newtonschen Gesetze (öffnet im neuen Fenster) ist die Schwerkraft proportional zur Größe zweier Massen und fällt quadratisch mit dem Abstand zwischen ihnen ab. Allerdings ist laut Einstein gerade dieser Abstand nicht eindeutig bestimmbar: Verschiedene Beobachter, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen, messen auch unterschiedliche Abstände.
Zudem wirkt die Gravitation in Newtons Theorie ohne Zeitverzug: Sobald sich eine Masse bewegt, fühlen sich alle anderen Massen sofort zu ihrer neuen Position hingezogen. Auch dies ist aber nach Einsteins Theorie verboten, da sich keine physikalische Wirkung schneller als die Lichtgeschwindigkeit ausbreiten kann.
Einstein selbst fand die geniale Lösung zu diesem Problem: In seiner allgemeinen Relativitätstheorie(öffnet im neuen Fenster) schaffte er die Newtonsche Gravitationskraft komplett ab und ersetzte sie durch die Fähigkeit der Raumzeit, sich zu verformen. Zentral sind dabei die folgenden Vorgänge:
1. Massen und Energien krümmen die Raumzeit in ihrer direkten Nachbarschaft.
2. Die Raumzeit selbst ist gewissermaßen elastisch und lokale Verformungen breiten sich daher mit Lichtgeschwindigkeit aus (was zu den im Jahr 2015 erstmals beobachteten Gravitationswellen führt).
3. Lichtstrahlen und Objekte, auf die keine Kräfte einwirken, bewegen sich auf sogenannten Geodäten (sprich: so gerade wie möglich) durch die gekrümmte Raumzeit.
Leider sind unsere Gehirne nicht gut dafür ausgestattet, sich eine vierdimensionale Raumzeit vorzustellen – und erst recht keine gekrümmte. Auch die Mathematik, mit der man all diese Mechanismen präzise berechnen kann, ist nicht unbedingt für ihre Einfachheit bekannt.
Andererseits ist zumindest eine grobe Vorstellung von den Grundideen der allgemeinen Relativitätstheorie nötig, um über Phänomene wie schwarze Löcher, Gravitationswellen oder kosmische Hintergrundstrahlung sprechen zu können. Und so begann der Aufstieg des Gummituch-Modells.
Ein Gummituch macht Karriere
Das Modell funktioniert wie folgt: Man stellt sich die Raumzeit als ein aufgespanntes elastisches Tuch vor. In dessen Mitte liegt eine schwere Kugel, die zum Beispiel einen Stern mit seiner großen Masse darstellen soll und die durch ihr Gewicht eine Delle in das Tuch drückt. Das Tuch weist also nun eine Krümmung auf ("Wie die Raumzeit!").
Nun schubst man eine kleine Murmel auf das Gummituch und beobachtet, dass sie auf einem gekrümmten, vielleicht sogar annähernd elliptischen Weg um die große Kugel in der Mitte rollt ("Wie ein Planet!"). Ergo, der Stern krümmt die Raumzeit und die gekrümmte Raumzeit zwingt die Planeten auf Ellipsenbahnen.
Leider ist dieses Modell nur sehr bedingt geeignet, um irgendetwas über allgemeine Relativität zu lernen, und es ist erstaunlich, wie populär es dennoch werden konnte. Es zieht sich durch populärwissenschaftliche Bücher, Blogs und Fernsehprogramme(öffnet im neuen Fenster), wird auch von seriösen wissenschaftlichen Organisationen wie der Max Planck Gesellschaft gerne verwendet (Video)(öffnet im neuen Fenster) und ist sogar Gegenstand eines Fachartikels(öffnet im neuen Fenster), in dem die Dynamik rollender Murmeln auf gekrümmtem Elastangewebe theoretisch und experimentell beleuchtet wird.
Ein besonders kurioses Beispiel lieferte 2017 ausgerechnet der ansonsten exzellente Wissenschaftserklärer Harald Lesch in seinem Buch Die Entdeckung der Gravitationswellen – Oder warum die Raumzeit kein Gummituch ist(öffnet im neuen Fenster) . Anstatt seinen eigenen Buchtitel wörtlich zu nehmen, stellt er das Gummituchmodell auf traditionelle Weise vor und begründet den zweiten Teil des Titels nur damit, dass die Raumzeit extrem steif sei und sich viel weniger deformieren lasse als Gummi. Letzteres ist zwar zweifellos richtig, aber für ein Verständnis von Grundprinzipien nicht übermäßig relevant.
Aber worin liegt nun das Problem des Gummituch-Modells?
Das Modell passt nicht zur Theorie
Erstens: Die in der allgemeinen Relativitätstheorie alles entscheidende Raumkrümmung ist bei dem Gummituch zwar vorhanden – sie spielt aber überhaupt keine Rolle! Die kleine Murmel läuft auch dann nicht auf einer geradlinigen Bahn, wenn das Tuch flach ist, solange man es nur etwas schräg hält (siehe Bild 2). Die Bahn ist dann parabelförmig und entspricht keiner gebundenen Rotation um den Zentralkörper mehr.
Entscheidend ist aber, dass die Abweichung von der geradlinigen Bewegung (also Newtons Gravitationsbeschleunigung) im Modell eben nicht von der Krümmung des Tuches hervorgerufen wird, sondern nur von seiner lokalen Schräglage im Gravitationsfeld der Erde, auf der das Experiment durchgeführt wird.
Und dies ist auch schon das zweite Problem: Der Grund dafür, dass die kleine Murmel in dem Tuch überhaupt zur großen hin rollt, ist ja gerade die Schwerkraft der Erde, von der sie nach unten gezogen wird. Das Gummituch bewirkt nichts anderes, als die Murmel am freien Fallen zu hindern und sie zur Mitte hin abzulenken. Effektiv wird in diesem Modell also die Schwerkraft durch die Schwerkraft erklärt(öffnet im neuen Fenster).
Ähnlich sinnvoll wäre es, die Funktionsweise einer Dampfmaschine dadurch zu beschreiben, dass man eine große Attrappe aus Rädern und Kolben baut, die dann von einer kleineren Dampfmaschine bewegt werden. Besonders irreführend ist dies, weil es ja gerade Einsteins große Leistung war, die direkte Anziehungskraft zwischen zwei Massen abzuschaffen und vollständig durch die Raum-Zeit-Krümmung zu ersetzen. Ein Modell, welches diesen gedanklichen Schritt nicht widerspiegelt, kann kaum zu einem besseren Verständnis der Theorie beitragen.
Sollten wir also das Märchen vom Gummituch (öffnet im neuen Fenster) ein für alle Mal aus der Wissenschaftskommunikation verbannen? Muss man doch einige Semester Vorlesungen über Riemannsche Geometrie (öffnet im neuen Fenster) hören, um eine gewisse Intuition für Einsteins Gravitationstheorie zu gewinnen?
Zum Glück nicht, denn das Gummituch lässt sich mit einem kleinen Trick retten. Doch zuvor müssen wir uns noch kurz damit beschäftigen, was Krümmung eigentlich bedeutet.
Krümmung ist nicht gleich Krümmung
Im Deutschunterricht haben wir gelernt, dass ein Roman eine innere und eine äußere Handlung hat. Nicht ganz unähnlich dazu gibt es in der Mathematik eine innere und eine äußere Krümmung(öffnet im neuen Fenster).
Von äußerer Krümmung spricht man, wenn ein Objekt in einen höherdimensionalen Raum eingebettet ist, aber darin nicht entlang gerader Linien verläuft – wenn man also die Krümmung sozusagen von außen sieht.
Innere Krümmung (öffnet im neuen Fenster) bedeutet vereinfacht gesagt, dass in einem Raum unsere Schulgeometrie nicht gilt: Dreiecke haben dort nicht immer eine Winkelsumme von 180 Grad, der Satz des Pythagoras ist aufgehoben und so weiter.
Willkommen in Flachland!
Ein Beispiel kann helfen, die beiden Krümmungsbegriffe besser zu verstehen: Wir beginnen mit einem leeren Blatt Papier, welches flach auf dem Schreibtisch liegt und daher weder eine innere noch eine äußere Krümmung aufweist.
Auf das Papier zeichnen wir einige Strichmännchen und nennen sie die "Flachländer(öffnet im neuen Fenster)". Wir stellen uns vor, dass diese Wesen in der zweidimensionalen Welt des Blattes leben, so dass all ihre Sinneswahrnehmungen, Bewegungen und Interaktionen entlang der Papierebene verlaufen.
Von einem dreidimensionalen Raum haben die Flachländer noch nie etwas gehört und sie haben auch keine Möglichkeit, ihn zu erkennen oder gar ihre flache Welt zu verlassen. Damit sich die Flachländer nicht langweilen, zeichnen wir noch einige Dreiecke auf das Blatt, an denen unsere zweidimensionalen Freunde Winkel- und Längenmessungen vornehmen können.
Nun rollen wir das Blatt zu einem Zylinder zusammen. Als Objekt im dreidimensionalen Raum ist das Blatt dann offensichtlich nicht mehr gerade – es besitzt also eine äußere Krümmung. Die Winkel und Seitenlängen der Dreiecke auf dem Blatt sind aber dieselben wie vor dem Zusammenrollen. Die Schulgeometrie gilt also noch und das Blatt weist daher keine innere Krümmung auf. Auch die Flachländer bemerken nicht, dass ihre Welt nun aufgerollt ist.
Anders sieht es bei der Oberfläche einer Kugel aus: Diese besitzt offensichtlich ebenfalls eine äußere Krümmung – aber im Gegensatz zum Papierzylinder weist sie auch eine innere Krümmung auf: Zeichnet man ein großes Dreieck auf einen Globus(öffnet im neuen Fenster), so ist dessen Winkelsumme nicht mehr 180 Grad – die Schulgeometrie ist also verletzt! Auch die Flachländer könnten an solchen Dreiecken Messungen vornehmen und feststellen, dass ihre Welt gekrümmt ist.
Wenn in der allgemeinen Relativitätstheorie von "Krümmung der Raumzeit" die Rede ist, dann ist immer die innere Krümmung gemeint. Da die Raumzeit selbst schon vierdimensional ist (drei Raumdimensionen plus die Zeit), müsste ein umgebender Raum ja mindestens fünfdimensional sein. Und einen solchen Raum können wir genauso wenig beobachten wie die Flachländer über den Tellerrand ihrer zwei Dimensionen blicken können.
Gerade ist nicht gleich Gerade
In den Beispielen oben sind wir nonchalant über ein wichtiges Detail hinweg gegangen, nämlich über die Frage, was in einem gekrümmten Raum eigentlich unter einer geraden Linie zu verstehen ist. Die Flachländer auf dem Papierzylinder merken ja wie gesagt nichts von der äußeren Krümmung. Daher gibt es in ihrer zweidimensionalen Welt natürlich gerade Linien (zum Beispiel die Seiten der Dreiecke, die wir auf das Blatt gezeichnet haben). Nur sind diese Linien von außen (also aus dem dreidimensionalen Raum) betrachtet natürlich nicht mehr gerade – es sei denn, sie verlaufen zufällig parallel zur Achse des Zylinders.
In der Mathematik nennt man solche Linien "Geodäten(öffnet im neuen Fenster)": Wenn man selbst in einem gekrümmten Raum lebt, dann erscheinen sie als Geraden. Wenn allerdings der gekrümmte Raum in einen höherdimensionalen eingebettet ist, dann sind sie von außen betrachtet nur so gerade wie möglich. Wie oben schon kurz angedeutet, besagt die allgemeine Relativitätstheorie, dass sich Licht und freischwebende Objekte auf Geodäten durch die Raumzeit bewegen.
Wir können das Problem mit dem Gummituch-Modell jetzt also noch ein wenig mathematischer formulieren: Darin wird die Bahn der Murmeln von der lokalen Neigung des Gummituches und damit letztlich von dessen äußerer Krümmung beeinflusst. Worauf es in der Relativitätstheorie aber ankommt, ist die innere Krümmung!
Wie die Raumzeit doch zum Gummituch wird
Schreiten wir nun zur Rettung des Gummituch-Modells. Als erstes verlegen wir das Gedankenexperiment aus dem gemütlichen Wohnzimmer weit hinaus ins kalte Weltall, fernab von Sternen und Planeten, an einen Ort völliger Schwerelosigkeit. So können wir nicht mehr in die Falle tappen, Gravitation durch Gravitation zu erklären.
Wir schweben hier draußen neben einem aufgespannten Gummituch und stellen fest, dass die große schwere Kugel mangels Erdanziehung keinerlei Anstalten macht, eine Delle hineinzudrücken. Wir müssen die Kugel also mit Kraft in das Tuch drücken, um es zu dehnen.
Die kleine Murmel ersetzen wir durch ein Spielzeugauto, das auf dem Gummituch fahren kann. Ein wenig doppelseitiges Klebeband um die Reifen verhindert, dass das Auto davonschwebt. Wenn wir ihm nun einen Schubs geben und es am Gummituch entlang rollt, sehen wir tatsächlich den Effekt der inneren Krümmung: Solange sich das Auto weit von der Kugel entfernt und damit im flachen Teil des Gummituchs befindet, bewegt es sich auf einer geraden Linie. Sobald es jedoch nah an der Kugel vorbeifährt, wird es aufgrund der Krümmung (!) der Fläche zur Kugel hin abgelenkt (siehe Bild 3).
Dass hier tatsächlich die Krümmung am Werk ist, sieht man wie folgt: Wenn ein Auto geradeaus fährt, drehen sich seine linken und seine rechten Räder gleich schnell. In einer Kurve hingegen drehen sich die äußeren Räder schneller als die inneren, da sie einen längeren Weg zurücklegen müssen.
Wenn unser Auto nun an der Kugel vorbeifährt, ohne seine Fahrtrichtung zu ändern, dann drehen sich die inneren Räder häufiger: Sie müssen ja durch die tiefere Delle fahren und daher einen längeren Weg zurücklegen (siehe Bild 4).
Also ist eine Bahn ohne Änderung der Fahrtrichtung zwar im umgebenden dreidimensionalen Raum eine Gerade (abgesehen von der unvermeidlichen Abweichung beim Durchfahren der Delle) – in der Welt des Gummituchs aber eine Kurve. Um im Gummituch geradeaus – also auf einer Geodäte – zu fahren, muss sich das Auto während der Fahrt so drehen, dass die von der Krümmung verursachten Unterschiede zwischen den Laufwegen der linken und rechten Räder durch die Drehung wieder kompensiert werden.
Kleine Änderung – große Wirkung
Manch einer mag den Tausch Murmel gegen Spielzeugauto als Haarspalterei abtun, zumal sich bisher die gekrümmten Bahnen in beiden Fällen ähnlich sehen. Doch dem ist mitnichten so.
Besonders deutlich wird der Unterschied beider Modelle und damit auch der Unterschied zwischen innerer und äußerer Krümmung, wenn wir noch eine weitere Modifikation vornehmen: Wir stülpen das Gummituch um. Aus der Delle wird also ein Hügel (siehe Bild 5).
Wenn wir dieses Experiment wieder auf der Erde machen, sehen wir eine große Auswirkung auf die Bahn der Murmel: Sie wird nun von der großen Kugel abgestoßen. An der Bahn des Autos ändert sich jedoch – nichts. Denn das Auto folgt der inneren Krümmung des Tuchs und die bleibt unverändert, egal in welche Richtung die Delle zeigt (wer nicht überzeugt ist: Die Argumentation ist die gleiche wie in Bild 4).
Flachland-Newton erklärt die Schwerkraft
Wenn die Bahn des Autos in der zweidimensionalen Welt des Gummituchs eine gerade Linie ist und nur von außerhalb als Kurve erscheint, woran merken dann eigentlich die Flachländer, dass es überhaupt eine Gravitation gibt?
Sie merken es, wenn sie die Bahnen mehrerer Autos vergleichen: Zwei Autos, die in einigem Abstand parallel zueinander starten, fahren nach einiger Zeit in unterschiedliche Richtungen. Ein flachländischer Isaac Newton würde sagen: Auf die Autos wurde eine Kraft ausgeübt und hat sie abgelenkt. In Wirklichkeit aber gibt es gar keine Kraft – beide Autos sind einfach in ihrem jeweiligen Bereich des gekrümmten Raumes geradeaus gefahren.
Hier wird eine Kernaussage der allgemeinen Relativitätstheorie deutlich: Die Schwerkraft ist keine Kraft – sondern ein rein geometrischer Effekt, der die Bahnen aller Körper genau wie die von Lichtstrahlen beeinflusst.
Letztlich hilft nur Mathematik
Natürlich ist auch das Auto-Modell nicht perfekt: Insbesondere krümmt sich in Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie die Raumzeit, während sich im Modell nur der Raum – also das Tuch – krümmt.
Damit hängt auch die Einschränkung zusammen, dass sich das Auto nicht in Ellipsen um die Kugel bewegen kann, so wie es die Planeten um die Sonne tun. Die Bahn des Autos entspricht eher der eines Kometen, der ins Sonnensystem eindringt, abgelenkt wird, und es wieder verlässt. Um schöne Ellipsenbahnen zu bekommen, muss man nicht nur den Raum sondern Raum und Zeit gemeinsam verbiegen – und dafür braucht es dann doch die Mathematik.
Helmut Linde(öffnet im neuen Fenster) leitete verschiedene Data-Science-Teams in deutschen Konzernen und ist nun bei der Covestro AG für die Digitalisierung von Forschung und Entwicklung verantwortlich. Als Mathematiker und Physiker ist er fasziniert von naturwissenschaftlichen Themen sowie der Anwendung und der Zukunft der künstlichen Intelligenz.
Update:
Der Artikel wurde auf seine Aktualität überprüft.
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