Wie funktioniert das Lernen mit neuronalen Netzwerken?

Sowohl die Merkmalstransformationen als auch die Klassenentscheidung werden bei neuronalen Netzen durch die Beobachtung der Daten gelernt. Für unser Beispiel erfolgt der Lernvorgang für die Aufgabe der Klassenzuordnung von Bildern. Zuerst wird ein Bild am Eingang des neuronalen Netzes angelegt und der Ausgangswert berechnet. Aus der Differenz zwischen dem Ausgang und der gewünschten Klasse lässt sich ein Fehler(wert) berechnen.

Dieser Fehler hängt von sogenannten Gewichten der Neuronen (siehe Abbildung 1) ab, denn sie bestimmen den Ausgangswert.

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Abbildung 1 (Bild: Christian Herta)

Abbildung 1: Ein Neuron als kleinste Recheneinheit eines neuronalen Netzes: Es wird die Summe der gewichteten Eingabewerte x1, x2, ... xn berechnet, d. h., jeder Eingabewert xi wird zuerst mit einem Gewicht wi multipliziert, bevor alle Eingabewerte aufsummiert werden.

Abbildung 2: Anschließend wird eine Aktivierungsfunktion (Schwellenwertfunktion) σ auf die gewichtete Summe angewendet. Falls die gewichtete Summe größer als der Schwellwert (hier im Beispiel 0,75) ist, liegt am Ausgang des Neurons eine 1 (aktiv) an. Falls die gewichtete Summe kleiner ist, ist das Neuron dagegen inaktiv. Der Ausgang hat dann den Wert 0. Dies ist ein Beispiel für eine harte Aktivierungsfunktion (blau). In Grün ist eine weichere Aktivierungsfunktion dargestellt.

Ein Gewicht ist sozusagen die Wertschätzung oder Wahrscheinlichkeit, die das neuronale Netzwerk der Beobachtung eines Neuronen zuordnet. Beim Lernen werden nun die Gewichte so angepasst, dass der Fehler kleiner wird, indem der Ausgangswert sich dem gewünschten Zielwert für alle Trainingsbeispiele annähert (siehe Abbildung 9).

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Abbildung 9 (Bild: Christian Herta)

Abbildung 9: Vereinfachte Darstellung einer Merkmalstransformation für zwei Merkmale und drei Klassen. Im ursprünglichen Merkmalsraum haben wir eine komplizierte Abbildungsfunktion der Merkmale auf die Klassen. Nach der Transformation sind die Datenpunkte der unterschiedlichen Klassen im Raum durch einfache gerade Trennlinien (im allgemeinen Hyperebenen) voneinander abgegrenzt.

Das Lernen wurde so als ein mathematisch lösbares Optimierungsproblem formuliert.

Für unser Beispiel der drei Klassen codiert man die Zielklasse mit drei Ausgangsneuronen o1, o2 und o3. Jedes Ausgangsneuron entspricht dann einer Klasse. o1 steht beispielsweise für die Landschaftsaufnahme, o2 für Porträts und o3 für die Tieraufnahmen. Wird ein Porträtfoto am Eingang angelegt, ist der Wunschzielwert der Ausgangsneuronen: o1=0; o2=1; o3=0; in Vektorform (0,1,0). Die Ausgangsneuronen des neuronalen Netzes haben typischerweise eine Aktivierungsfunktion, die Wahrscheinlichkeiten für die Klassen angeben.

Ist der Ausgang z. B. (0.3, 0.45, 0.25), so bedeutet dies, dass das neuronale Netz folgende Wahrscheinlichkeiten berechnet: 30 Prozent für die Klasse Landschaftsaufnahme, 45 Prozent für die Klasse Porträt und 25 Prozent für die Klasse Tieraufnahme.

Der Fehler ergibt sich dann aus der Differenz zwischen der Einschätzung des neuronalen Netzes für die Zielklasse zur gewünschten Zielwahrscheinlichkeit 100 Prozent. Da die Einschätzung des neuronalen Netzes für die Zielklasse Porträt 45 Prozent beträgt, ist die Differenz 100 Prozent - 45 Prozent = 55 Prozent.

Beim Lernen werden nun die Neuronengewichte so modifiziert, dass der Fehlerwert von 55 Prozent erniedrigt wird. Das heißt, dass die Wahrscheinlichkeit für die Zielklasse Porträtfoto erhöht werden soll. Beim Anlegen dieses Fotos soll sie größer als die bisherigen 45 Prozent sein. Ein wichtiger Algorithmus für diese Anpassung der Gewichte ist Backpropagation.

Dabei wird effizient berechnet, wie stark die einzelnen Neuronengewichte geändert werden müssen, um den Fehler zu reduzieren.