100 Jahre Schrödingergleichung: Eine Welt aus Wellen
Zum 100. Geburtstag der Schrödingergleichung, die am 27. Januar 1926 in Annalen der Physik(öffnet im neuen Fenster) veröffentlicht wurde, kommt man an der Katze(öffnet im neuen Fenster) natürlich nicht vorbei. Im Gedankenexperiment von Erwin Schrödinger(öffnet im neuen Fenster), das veranschaulichen soll, wie quantenmechanische und makroskopische Prozesse kollidieren, befindet sich eine Katze in einer Kiste.
Eingesperrt ist sie mit einer Höllenmaschine, die auf den Zerfall eines einzelnen radioaktiven Atoms wartet. Ein Geigerzähler erfasst den Prozess und löst einen Mechanismus aus, der eine Giftampulle zerstört, mit fatalen Folgen für die Katze.
Ein Atom verhält sich anders als Milliarden davon
Das Problem: Wann ein einzelnes Atom zerfällt, lässt sich nicht vorhersagen. Die zugehörige Halbwertszeit beschreibt nur, zu welchem Zeitpunkt die Hälfte einer riesigen Menge von Atomen, üblicherweise eine Zahl mit 20 Nullen oder mehr, zerfallen sein wird. Auch wenn sich diese Zeit mit hoher Präzision messen lässt, ist völlig unklar, welche Hälfte zerfallen sein wird.
Diese Unschärfe hatte Werner Heisenberg bereits zuvor beschrieben. Ort und Impuls, also die Bewegung eines Teilchens, lassen sich nur mit einem Rest von Ungewissheit feststellen. Auch wenn eine Katze als makroskopisches Objekt von solcher Unsicherheit nicht betroffen ist, würde die Verknüpfung ihres Lebens mit einem einzelnen Atom genau zu einer solchen führen.
Die Katze selbst oder ihr Zustand verbleiben aber in der vorquantenmechanischen Physik. Diese klassische Physik stellt den Grenzfall dar, wenn die de-Broglie-Wellenlänge(öffnet im neuen Fenster) eines Objekts gegen Null läuft. Das ist immer dann der Fall, wenn ein Objekt aus mehr als einer Handvoll Atomen besteht.
Bei einem Elektron in einem elektrischen Leiter liegt die Wellenlänge im Bereich mehrerer Meter. Ein Elektron mit ein paar Prozent der Lichtgeschwindigkeit hat eine Wellenlänge von weniger als einem Nanometer. Bei einer Katze ist sie praktisch Null.
Ein mathematischer Kunstgriff
Diese von Louis-Victor de Broglie(öffnet im neuen Fenster) 1924 vorgestellte Überlegung von Materiewellen ist wichtig, weil sie die Grundlage der Schrödingergleichung bildet. Demnach lässt sich einfach alles als Welle beschreiben, nicht nur Licht, sondern auch Atome, Moleküle und mehr.
Die Schrödingergleichung, bei der es sich um eine partielle Differenzialgleichung handelt, liefert als Lösung die passenden Wellenfunktionen. Sie beschreiben keine Bahnkurve mehr, sondern geben lediglich an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden ist.
Schrödingergleichung in der Praxis verlässlich
Die Ergebnisse der Schrödingergleichung, die als Grundgleichung der Quantenmechanik gilt und in fast logischer Konsequenz zum Nobelpreis für Physik für Erwin Schrödinger im Jahr 1933 führte, liefert für die Praxis kaum verständliche Ergebnisse. Die resultierenden Wellenfunktionen können komplex, also irrational sein. Auch Ergebnisse mit sechs Dimensionen entziehen sich praktischen Überlegungen.
Und dennoch wurde die Richtigkeit der Vorhersagen, die sich aus der Gleichung ergeben, experimentell immer wieder belegt. Dass ein einzelnes Teilchen sich nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit, die sich dann aber sehr genau berechnen lässt, an einem Ort oder in einem Zustand befindet, ist somit die mathematisch korrekte Herangehensweise an quantenmechanische Prozesse.
Und wie das Beispiel des radioaktiven Zerfalls schon zeigte, wird aus der unzuverlässigen Wahrscheinlichkeit bei immer mehr Teilchen eine verlässliche makroskopische Größe.
Licht brechen mit Erwin Schrödinger
Die praktische Bedeutung der Gleichung lässt sich auch beobachten. Man nehme ein Teilchen, dass in eine Richtung fliegt, frei von äußeren Einflüssen. An einem bestimmten Punkt kommt ein solcher Einfluss in Form einer potenziellen Energie hinzu.
Das ist eine Potenzialstufe, und alle Teilchen, die nicht genügend Energie aufweisen, können diese Stufe nicht überschreiten. In der Optik könnte man sich Licht vorstellen, das vom Vakuum auf Glas trifft. Ab einem bestimmten Einfallswinkel wird es reflektiert, statt ins Glas einzutreffen.
Eine Wellenfunktion kann ausgehend von der Schrödingergleichung über den gesamten Bereich hinweg beschreiben, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich eine Lichtwelle vor, hinter oder direkt auf der Potenzialstufe befindet, die ja nur der Übergang vom Vakuum zum Glas ist.
Beobachtungen bestätigen das mathematische Ergebnis
Für Licht mit zu wenig Energie, also einem zu flachen Einfallswinkel ist das Ergebnis eindeutig. Alle Photonen werden reflektiert, hinter der Potenzialstufe wird die Wellenfunktion gleich Null.
Mit einem feinen Unterschied zur klassischen Physik, der sich in der entscheidenden Bedingung der Schrödingergleichung versteckt. Sie muss nämlich überall differenzierbar beziehungsweise ableitbar sein. Und eine solche Ableitung gibt es an einer Stufe nicht, denn der Anstieg des Graphen wäre genau an dem Punkt unendlich oder eben nicht lösbar.
Dank der Wahrscheinlichkeiten aus der Schrödingergleichung dringen tatsächlich Photonen in die Grenzfläche ein, die jetzt keine Stufe mehr ist, sondern nur noch ein sehr steiler Anstieg. Je weiter man in die Glasschicht blickt, umso unwahrscheinlicher wird es, eine Lichtwelle zu beobachten.
Vorhersagen zu Optik und Quantenphysik
Obwohl das Licht die Potenzialstufe also auch laut Schrödinger nicht überwinden kann, dringt es doch ins Material ein. Und genau das entspricht den experimentellen Beobachtungen bei der Totalreflexion des Lichts an einer Oberfläche.
Erst die Schrödingergleichung ermöglicht also verlässliche Aussagen darüber, wie sich Photonen, Elektronen oder Atome zum Beispiel an Grenzflächen in der Praxis verhalten. Damit bildet sie die Grundlage für die Erforschung von Halbleitern, Leuchtdioden oder radioaktiven Zerfallsprozessen.
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