Schrödingergleichung in der Praxis verlässlich

Die Ergebnisse der Schrödingergleichung, die als Grundgleichung der Quantenmechanik gilt und in fast logischer Konsequenz zum Nobelpreis für Physik für Erwin Schrödinger im Jahr 1933 führte, liefert für die Praxis kaum verständliche Ergebnisse. Die resultierenden Wellenfunktionen können komplex, also irrational sein. Auch Ergebnisse mit sechs Dimensionen entziehen sich praktischen Überlegungen.

Und dennoch wurde die Richtigkeit der Vorhersagen, die sich aus der Gleichung ergeben, experimentell immer wieder belegt. Dass ein einzelnes Teilchen sich nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit, die sich dann aber sehr genau berechnen lässt, an einem Ort oder in einem Zustand befindet, ist somit die mathematisch korrekte Herangehensweise an quantenmechanische Prozesse.

Bild 1/1: Erwin Schrödinger war Professor in Jena, Stuttgart, Breslau, Zürich, Berlin, Graz, Oxford, Dublin und Wien. 1933 erhielt er den Nobelpreis für Physik, gemeinsam mit Paul Dirac. (Quelle: American Institute of Physics)

Und wie das Beispiel des radioaktiven Zerfalls schon zeigte, wird aus der unzuverlässigen Wahrscheinlichkeit bei immer mehr Teilchen eine verlässliche makroskopische Größe.

Licht brechen mit Erwin Schrödinger

Die praktische Bedeutung der Gleichung lässt sich auch beobachten. Man nehme ein Teilchen, dass in eine Richtung fliegt, frei von äußeren Einflüssen. An einem bestimmten Punkt kommt ein solcher Einfluss in Form einer potenziellen Energie hinzu.

Das ist eine Potenzialstufe, und alle Teilchen, die nicht genügend Energie aufweisen, können diese Stufe nicht überschreiten. In der Optik könnte man sich Licht vorstellen, das vom Vakuum auf Glas trifft. Ab einem bestimmten Einfallswinkel wird es reflektiert, statt ins Glas einzutreffen.

Eine Wellenfunktion kann ausgehend von der Schrödingergleichung über den gesamten Bereich hinweg beschreiben, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich eine Lichtwelle vor, hinter oder direkt auf der Potenzialstufe befindet, die ja nur der Übergang vom Vakuum zum Glas ist.

Beobachtungen bestätigen das mathematische Ergebnis

Für Licht mit zu wenig Energie, also einem zu flachen Einfallswinkel ist das Ergebnis eindeutig. Alle Photonen werden reflektiert, hinter der Potenzialstufe wird die Wellenfunktion gleich Null.

Mit einem feinen Unterschied zur klassischen Physik, der sich in der entscheidenden Bedingung der Schrödingergleichung versteckt. Sie muss nämlich überall differenzierbar beziehungsweise ableitbar sein. Und eine solche Ableitung gibt es an einer Stufe nicht, denn der Anstieg des Graphen wäre genau an dem Punkt unendlich oder eben nicht lösbar.

Dank der Wahrscheinlichkeiten aus der Schrödingergleichung dringen tatsächlich Photonen in die Grenzfläche ein, die jetzt keine Stufe mehr ist, sondern nur noch ein sehr steiler Anstieg. Je weiter man in die Glasschicht blickt, umso unwahrscheinlicher wird es, eine Lichtwelle zu beobachten.

Vorhersagen zu Optik und Quantenphysik

Obwohl das Licht die Potenzialstufe also auch laut Schrödinger nicht überwinden kann, dringt es doch ins Material ein. Und genau das entspricht den experimentellen Beobachtungen bei der Totalreflexion des Lichts an einer Oberfläche.

Erst die Schrödingergleichung ermöglicht also verlässliche Aussagen darüber, wie sich Photonen, Elektronen oder Atome zum Beispiel an Grenzflächen in der Praxis verhalten. Damit bildet sie die Grundlage für die Erforschung von Halbleitern, Leuchtdioden oder radioaktiven Zerfallsprozessen.